中外科学家发明家丛书:伽罗瓦- 第6部分

根式解。　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　k　　　　　　2k　

　　　　　举一将　n个方程式写作一个的一组一次方程为例：x＋ρx2＋ρ　x3　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　

＋……＋ρ（n…1）kx=r，③此处k的值可为0与n－1之间的任何整数，如　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n　k　



当k＝0时，③就为　

　　　　　x＋x＋x＋……＋x=r0　

　　　　　　1　2　3　　　　　　　　　　　n　



　　　　　当k＝1时，③为　

　　　　　　　　　　x　　　　2　　　　　　　　　　　　　n…1　

　　　　　x＋ρ2＋ρx3＋……＋ρ　xn=r，　

　　　　　　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　



　　　　　以下，依次类推。　

　　　　　因为一个方程式的最高次项系数若是1，则诸根之和等于方程式中第二　

项的系数的负值，所以r之值可以直接从方程式的系数中求得。如果把置换　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　o　



　（1　　　　　2……n3）用于③式的左端，③式左端为　

　　　　　　　　　　k　　　　　　2k　　　　　　　　　　　　（n…1）k　

　　　　　x＋ρx3＋ρ　x4＋……＋ρ　　　　　　　　　　　x　

　　　　　　2　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　



　　　　　所以说置换　（1　2　3……n）　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　…k　　　　　　　　　　　n　

　　　　　将r之值变为ρ　rk。又因P＝1，故　

　　　　　　　　　k　

　　　　　　　　　　　n　　　　　　　…k　　n　

　　　　　　（r）＝（ρr），　

　　　　　　　　k　　　　　　　　　　　　　k　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　n　

　　　　　所以置换　（1　2……n3）不变更r的值。同理，群中其它置换也不改　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　k　



　　　　n　

变r的值。这就是说，所有r的值都可由根式得到。由③，可将x用ρ与r　

　　　　　k　



表示，则方程式③可用根式解。这样，就证明了：如果方程式在一个数域中　

的群是元素个数为质数巡回正置换群，则此方程式一定能用根式解。　

　　　　　举例来说，方程式　

　　　　　　3　

　　　　　x…3x＋1＝0　

　　　　　在有理数域中的群是　1，（1　2　3），（1　3　2）。它是一个元素个数为　

质数的巡回正置换群，所以可从x＋x＋x＝0，　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　2　3　

　　　　　　　　　　　　　　　2　

　　　　　x＋ωx＋ωx=r，　

　　　　　　1　　　　2　　　　　3　1　

　　　　　　　　　　2　

　　　　　x＋ωx＋ωx＝r，　

　　　　　　1　　　　　2　　　　3　　2　



　　　　　这三个一次方程式中解它。此处ω表示1的一个虚立方根，r与r可以　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　2　



由数域中的数的根数得出。换句话说，如果把这种根数加入到数域中，则x　

都存在于扩大的数域中。　

　　　　　在一般情况下，常可以　

　　　　　　2　　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　　　　　　2　

　　　　　y=（x－x）　（x－x）……（x　…x）作第一个辅助方程式，其右　

　　　　　　　　　　　1　　2　　　　　　　　1　　3　　　　　　　　　　　　n…1n　



端是所有每两个根之差的平方之积。假如方程式的第一项系数是1的话，那　

么，上式右端则是方程式的“判别式”。例如二次方程式　

　　　　　　2　

　　　　　x＋bx＋c＝0　

　　　　　的两个根x，x的差的平方是　

　　　　　　　　　　　　　　　　1　　2　

　　　　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　2　

　　　　　　（x…x）＝（x＋x）－4xx＝b－4c，这恰是方程式的判别式。同样，　

　　　　　　　　1　2　　　　　　　　　1　2　　　　　　　　　12　



高次方程式的判别式也可从系数求得。　

　　　　　再设所要解的方程式是一般的三次方程式，将第一个辅助方程式的根加　

入原数域后，方程的群为H，即一个元数为质数的巡回正置换群。这样，可　

利用　

　　　　　x＋x＋x=…b，　

　　　　　　1　2　3　


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　　　　　　　　　　　　　　　2　　　　　　　　　　　　　2　

　　　　　x＋ωx＋ωx=r，x＋ωx＋ωx＝r，　

　　　　　　1　　　　2　　　　　3　1　　1　　　　　　　　2　　　　　3　　2　



　　　　　这三个一次方程式来解原三次方程式。其中r，r可由数域中数的根数　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　2　



求得。x，x，x存在于这个最后经r，r的加入而扩大成的数域中。　

　　　　　　　　1　　　　2　　3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　2　



　　　　　这样就证明了：方程式在一个由其系数与1之n个n次根而决定的数域　

中的群若是一个可解群，则此方程式是可以用根式解的。　

　　　　　伽罗瓦的群论，是解决数学问题的重要工具，它对于数学就如同语言对　

于人的重要性一样。正像人们评价的，“无论在什么地方，只要能应用群论，　

就能从一切纷乱混淆中立刻结晶出简洁与和谐”。“群的概念是近世纪科学　

思想出色的新工具之一”。　


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