中外科学家发明家丛书:伽罗瓦- 第4部分

合才能得到发展，而在配合之中，偶然性所起的作用远非微不足道的；科学　

的生命是混沌一团的，它好比由于矿层的毗连而相互交错的矿物。这种情况　

不仅适用于由众多科学家的工作成果所构成的整个科学界，而且也适用于其　

中每一个科学家的单独研究工作。分析家们用不着欺骗自己，因为他们并不　

是在演绎真理，而是在进行组合；他们领会真理是徘徊于左右之间的。”　


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　　　　　虽然伽罗瓦的科学活动惊人的短促，但他的研究成果是辉煌的。他的著　

作，标志着数学前史的结束和数学史的开始。　

　　　　　在伽罗瓦的著作中，所说的“把数学运算归类”指的就是群论，即从19　

世纪末叶开始，对数学分析、几何学、力学、物理学的发展有着巨大影响的　

群论。创立这个理论的荣誉属于伽罗瓦，因为他是第一个估计到这个理论对　

科学发展的意义的先驱。　

　　　　　伽罗瓦所研究的求解代数方程的问题，长期以来吸引着数学家们的注　

意。解方程，意即求出它的根值。在求一次和一次方程的根时很容易，但在　

三次方程中，就不太容易了。而伽罗瓦研究的是任意次方程，即方程的一般　

情况。　

　　　　　从实践观点来看，无论形式多么复杂的任何具体方程的解并没有任何意　

义。早在16世纪，数学家就已经发现，使用能确定方程根的近似值的方法较　

为便当。这些近似值充分满足了物理学家、化学家和工程师的需要。但对于　

使用字母作系数的一般方程来说，近似法是求不出它的根值的。伽罗瓦的第　

一个发明就在于他把这些根值的不定式的次数减低下来，确定这些根的某些　

特征。伽罗瓦的第二个发明就是他所使用的求得结果的方法，即他并不研究　

方程本身，而研究它的“群”，也就是研究它的“家族”。　

　　　　　　“群”的概念是在伽罗瓦著作提出之前不久才出现的。但当时，它只不　

过像是一个没有灵魂的躯体，是偶尔出现在数学上的、人为臆断的大量概念　

之一。伽罗瓦的贡献不仅在于他使这个理论具有生命，还在于他以独创精神　

赋予这个理论以必要的完整性；伽罗瓦指出，这一理论富有成效，并且把它　

运用到解代数方程的具体习题上。所以，埃瓦里斯特·伽罗瓦是群论的真正　

创始人。　

　　　　　在数学科学中，“群”被看作是具有某种共同特性的对象总和，譬如奇　

数群　（不能被2整除的数的集合），它的特性在于如果令群中的任意两个数　

相乘，则其积仍为奇数，如3乘3等于9，当实例从简单到复杂时，则可以　

选择关于某些对象的运算自身作为“对象”。在这种情况下，群的主要特征　

表现为任意两种运算的结合也是一种运算。伽罗瓦在分析求解的方程时，就　

是把某种运算群与这个方程联系起来，并证明方程的特性反映在该群的特点　

上。由于不同的方程可以“‘有”同一个群，所以无须研究所有的方程，只　

须研究与之相适应的群就可以了。这一发现标志着数学发展的现阶段的开　

始。　

　　　　　不论群是由什么“对象”——数、位移或运算——组成，这些对象都可　

被视为是不具有任何特征的抽象的东西。而要测定群，只须说明为了使某“对　

象”的总和可以称为群而应遵循的共同规则就可以了。这些规则就是群的公　

理，群论是依据这些公理运用逻辑总结出来的结果。这一理论在证实不断被　

发现的新的特性过程中得到了发展。群论为研究工作提供了新的数学工具。　

　　　　　人类认识的发展过程是不平衡的，有时候某一方面的进展会暂时中断。　

科学也会在某个时期处于停滞之中，昏昏欲睡。科学家们从事琐碎的事情，　

把贫乏的思想隐藏在华丽的计算后面。19世纪初期的数学发展状况就处在停　

滞阶段。因为在当时，代数变换已演进得很复杂了，以致向前发展实际上成　

为不可能的事情了。数学家们不再能够“预见”了。因此，寻找新道路以推　

动科学发展就成了时代的需要。对此，伽罗瓦曾说：“在数学中，正如在任　

何其他科学中一样，有一些需要在这一时代求得解决的问题。这是一些吸引　


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先进思想家思想而不以他们个人的意志和意识为转移的迫切问题。”　

　　　　　伽罗瓦以他的著作，开始了数学科学新的繁荣时期。群的概念的建立，　

使数学们家摆脱了研究大量的、各式各样的理论的繁重负担。伽罗瓦曾指出：　

　“我在这里进行分析之分析”，这种想法表明了他竭力想使这些新的、像辞　

汇表那样具有实用意义的方法得到运用。所以说群论首先是数学语言的整　

理。　

　　　　　有些人谴责伽罗瓦参与政治活动，说他过分年轻，行为过激而招致杀身　

之祸。他们认为科学家的工作是超时间和超空间的，科学家应该在某种抽象　

的世界中生活，进行创造。这种观念使他们不能认清伽罗瓦在科学上所作的　

贡献的价值。与这种偏见不同，伽罗瓦反对科学家的天生孤独性。他相信：　

　“科学家生来并不比其他人更要过孤独的生活；他们也是属于特定时代的　

人，而且迟早要协同合作。到了那时候，将有多少时间腾出来用于科学呀！”　

　　　　　正因为伽罗瓦把科学理想与社会理想结合起来，并为实现它们而奋斗，　

所以他成了一位杰出的数学家和勇敢的革命者。可以说，伽罗瓦短暂的一生　

是伟大的。　



　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　三、伽罗瓦与群论　



　　　　　群论这门数学在当代已经成为数学中的重要部分了，而其理论的应用、　

发展应该首先归功于埃瓦里斯特·伽罗瓦。因为是伽罗瓦赋予群论以实在的　

内容，建立起群论学并加以完善，从而改变了19世纪初叶，数学科学发展的　

停滞状况，开创了新的繁荣时期。所以说，伽罗瓦对科学的重大贡献就在于　

他对群论的贡献。因此，要了解伽罗瓦，就必须了解群论。　

　　　　　1．群的重要　

　　　　　解方程式是数学中一件重要的事情。代数方程式可以依他的次数来分　

类。　

　　　　　一次方程式ax＋b＝0的解答很容易得出，是　

　　　　　x＝…b／a　

　　　　　二次方程式　

　　　　　　　2　

　　　　　ax＋bx＋c＝0的解是　

　　　　　x＝（…　b±　b2　　　　　　　…4ac　）／2a　



　　　　　但是，三次方程式　

　　　　　　　3　　　　　2　

　　　　　ax＋bx＋cx＋d＝0　

　　　　　和四次方程式　

　　　　　　　4　　　　　3　　　　2　

　　　　　ax＋　bx＋cx＋　dx＋e＝　0　

　　　　　的解法就比解一次、二次方程式难得多了，直到16世纪才有了解法。　

　　　　　当方程式的次数增大时，解法的困难增加得很快。一般数学家虽都不会　

解高于四次的方程式，却都相信一定是能办到的。直到19世纪，利用群论的　

道理，才证明了这是不可能的事。因为一个问题能否解决要看对于解答所加　

的限制条件而定。譬如　

　　　　　x＋5＝3　

　　　　　如果允许x为负数的话，此方程可解；若限定x不能是负数，则此方程　

式就不能解了。同样，假如x表示饼数，方程式　


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　　　　2x＋3＝10　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　

　　　　　是可解的。但倘若x表示人数、这个方程式就不能解了，因为　x　＝3　　　　　　　（人）　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　

没有意义。　

　　　　再如，一个代数式可以分解因数或不可以分解因数要看是在什么数域对　

它进行分解。如　

　　　　　2　

　　　　x＋1　

　　　　在实数域中是不可分解的，可是在复数域却是可分的，因为　

　　　　　2　

　　　　x＋1=（x＋i）（x…i），　

　　　　　其中i＝　
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　　　　　例如：　

　　　　　在　（a）中，主元素是0，因为0与任何整数相加的结果还是那个整数。　

　　　　　在　（b）中，主元素是1，因为任意一个有理数乘以1后的积还是自身。　

　　　　　在　（c）中，主元素是那个将x代作x，x代作x，x代作x的置换，　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　1　　2　　　　　　　　2　　3　　　　　　　　3　



因为任何置换和自身结合的结果是不变的。　

　　　　　在（d）中，主元素是那个360°的旋转，因为系统中的任意一个旋转和　

此旋转结合的结果仍为自身。　

　　　　　　（3）每个元素必须有一个逆元素，即一个元素和其逆元素用系统中的运　

算结合的结果是主元素。　

　　　　　例如：　

　　　　　在　（a）中，3的逆元素是…3，因为3加…3的和是0。　

　　　　　在　（b）中，a／b的逆元素是b／a，因为a／b和b／a相乘的积是1。　

　　　　　在（C）中，将x代作x，x代作x，x代作x的置换的逆元素是将x　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　2　　2　　　　　　　3　　3　　　　　　　　1　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　2　



代作x，x代作x，x代作x的置换。因为这两个置换结合的结果是那个将　

　　　　　　1　3　　　　　　　　　2　　1　　　　　　　3　



x代作x，x代作x，x代作x的置换。　

　2　　　　　　　2　　3　　　　　　　　3　　1　　　　　　　　1　



　　　　　在　（d）中，60°的旋转（按顺时针方向）的逆元素是一个…60°的旋转　

　（按逆时针方向）。因为这两个旋转结合的结果是主元素——360°的旋转。　

　　　　　　（4）结合律必须成立。　

　　　　　例如，设a，b，c是任意三个元素，又设运算用记号O表示，则结合律　

指　

　　　　　　（aOb）Oc＝aO（bOc）　

　　　　　应用到系统　（a）中，为　

　　　　　　（3＋4）＋　5＝3＋（4＋　5）　

　　　　　所以结合律在　（a）中能成立。　

　　　　　对于一个系统，它是否成群，不但要看它的元素，还要看它的运算才能　

决定。　

　　　　　3．群的重要性质　

　　　　　伽罗瓦用来解方程式的置换群具有十分有趣的性质。　

　　　　　在表示置换时，为了方便起见而采取一种简单的记法，即在记x，x，　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　2　



x时可将x省去，只用1，2，3来表示。例如一个将x代作x，x代作x，　

　3　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　2　　2　　　　　　　　3　



x代作x的置换，可以简单的记作（　1　2　3）　

　3　　　　　　　1　



　　　　　这个记号的意思是说：　

　　　　　1变作2，2变作3，3变作1。　

　　　　　换句话说，就是　

　　　　　x变作x，x变作x，x变作x。　

　　　　　　1　　　　　　2　　2　　　　　　　　3　　3　　　　　　　　1　



　　　　　同样，（1　3　2）则表示一个将x变作x，x变作x，x变作x的置换。　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　3　　3　　　　　　　　2　　2　　　　　　　1　



又如　

　　　　　　（1　3）（2）或（1　3）　

　　　　　表示一个将x代作x，x代作x，x代作x的置换。　

　　　　　　　　　　　　　　　　　　1　　　　　　　3　　3　　　　　　　　1　　2　　　　　　　2　



　　　　　有时一个群的部分元素自己形成一群，这种群称为“约群”。例如，前　

面（a）例中，一切整数对于加法而言，为一群。若单拿一切偶数来看，对于　

加法，他们也成一群；因为群的四个性质它都适合：　


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　　　　　　（1）两个偶数的和还是偶数。　

　　　　　　（2）0是主元素。　

　　　　　　（3）一个正偶数有相应的负偶数作逆元素，而一个负偶数的逆元素是正　

偶数。　

　　　　　　（4）结合律成立。　

　　　　　所以，偶数群是整数群的约群。　

　　　　　伽罗瓦证明了约群的元素个数是原来的群的元素个数的约数。　

　　　　　在约群中，最重要的是“不变约群”，即一个约群中的任何元素应用原　

来的群中任何元素的变形，＇例如设有一个元素　（1　2），用另一个元素（1　2　

3）去右乘它，再用（1　2　3）的逆元素（1　3　2）去左乘它，所得的结果是　

　　　　　　（1　3　2）（1　2）（1　2　3）＝（2　3），　

　　　　　这个结果　（2　）就称为3　　　　（1　）应用2　（1　2　3）的变形。＇若仍是约群　

中的元素，这个约群就称为原来那个群的不变约群。　

　　　　　一个群可以看作是它自己的约群，但不是真约群