《中外科学家发明家丛书:高斯》

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中外科学家发明家丛书:高斯- 第2部分


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了这种作图的可能性的条件。假期结束后,高斯带着他的结果去见哥廷根大 

学教授、他的老师克斯特纳。克斯特纳听说高斯正在进行正17边形的作图, 

并且称自己已经解决了,很不相信。他告诉高斯,关于这个问题的精确解是 

不可能得出的,得出的只能是近似解。他不相信高斯的成果,把高斯赶出了 


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家门。 

     事实上,高斯的答案是正确的,他不仅解决了正17边形的尺规作图,而 

且对这类作图问题的可能性作了一揽子回答。他的结论是:“一个正n边形 



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能用尺规作出,仅仅在n可表示为如下形式时才是可能:n=2·pp…p;其 

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中 p,p,…,p为各不相同之素数,且具有2+1形式。”特别是,当 n 

     1  2        n 

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为素数时,n具有2+1形式即为尺、规作正n边形的充分条件。根据这个 

结论,人们就可以毫不费力地断定,哪些正多边形是可用尺规作出的,哪些 

则不可用尺规作出。比如,正17边形虽然能用尺规作出,但边数比它少的正 

7、9、11、13边形却不能。这样,困扰了几何学家达2000年之久的难题终 

于被这位18岁的德国青年作出了完满的答案。下面是正17边形的尺规作法: 

     正17边形的完整作法只需一页篇幅;正257边形的尺规作图就要占用 

80页纸;而后来数学家盖尔英斯按照高斯方法作出的正65537边形的手稿整 

整装满了一只手提箱。这份手稿至今仍保存在哥廷根大学的图书馆里。 

     1796年6月1日,在《文献汇报》的知识分子专栏中,通过学校一些教 

授的推荐,高斯发表了他关于成功画出正17边形的第一篇论文,并将这一最 

新发现公诸于世,齐默尔曼教授在推荐文中指出:这是数学上的巨大成果, 

完成这一成果的是一位年仅18岁的大学生,而且他在古典文学上的造诣也不 

亚于高等数学的成就。 

     这次成功使高斯大为振奋,从此他下决心把毕生精力奉献给数学科学。 

他十分珍视这一成果,并希望死后能在他的墓碑上刻上正17边形的图案。 

     从1795至1798年的大学三年间,是高斯思维的旺盛时期。各种神奇般 

的想法,像喷泉般地涌流出来,它涉及到数论、代数、分析、几何、概率论 

等各个方面。高斯后来发表的成果都可以在这个时期里追溯到思想的脉络。 

     1798年9月29日,高斯以优异的成绩结束了在哥廷根大学的学习生活。 

大学毕业后,高斯没有立即找工作。他回到家乡布伦瑞克赶写博士论文。 

     当时,高斯可选择的论文题目有很多,但他选择了代数基本定理的证明 

这一难度大影响大的论题。论文第二年完成,题目是: 《关于每一单变量代 

表整函数都可分解为一阶或二阶实因子之积的证明》。论文以十分新颖的思 

考方式对代数方程根的存在作了严格的论证。高斯的方法不是去计算一个 

根,而是去证明它的存在。他指出P(x+iy)=0的复根a+ib相当于平面上 

的点(a,b),如果P(x+iy)=U(x,y)+iV(x,y),那么(a,b) 

必定是曲线U(x,y)=0和V(x,y)=0的交点。通过对这些曲线作定性 

的研究,他证明了一条曲线上的一段连续弧连结着两个不同区域上的点,而 

这两个区域是被另一条曲线隔开的,所以曲线U(x,y)=0和曲线V(x,y) 

=0必相交。 

     高斯的论文除提交给赫尔姆斯塔特大学外,还分发给了当时他认为有资 

格对其代数基本定理的论证进行专业评价的37个人和机构。由于高斯的论文 

解决了前数学家达朗贝尔、欧拉和拉格朗日试图解决而没有解决的问题,因 

此,他的论文受到赫尔姆斯塔特大学校务委员会的肯定。在高斯缺席答辩的 

情况下,通过了论文。论文评定人是该大学著名的数学教授普法夫。他对高 

斯的评语是:“这篇论文具有许多优点,说明作者才华突出,通篇叙述充满 

了完全合理的推论和令人信服的证明。因此,这篇论文出版以后,高斯博士 

学位将为我们大学增添无比的荣誉。”因此,高斯获得了博士学位。同年, 

高斯获得讲师职称。 


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     高斯的论文虽然获得了成功,但是,这成功的背后却有着艰辛的历程。 

     高斯大学毕业后,斐迪南公爵承诺的义务即告完成。高斯在找工作中遇 

到了困难。他只收了几个学生,时断时续的学费收入仅够他购买每天需要的 

面包和纸张,至多只允许他偶尔喝上一杯咖啡。像高斯这样一个颇有名望的 

数学家,为什么收不到学生呢?原因是高斯讲课和他著作一样字斟句酌,言 

简意赅,他不重复在他看来浅显易懂的道理,这使得一般学生远远跟不上他 

敏捷的思路。生活的艰辛,终于使他病倒。即使这样,高斯在致斐迪南公爵 

的信中从未提起自己生活的窘迫。后来,他的朋友巴蒂尔把这个消息告诉了 

公爵。斐迪南公爵又一次雪中送炭。他不仅为高斯偿还了债务,而且决定继 

续提供津贴,让高斯安心研究而不致受贫穷的困扰。如果没有公爵的资助, 

高斯也许不能够顺利地完成研究工作。 


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                         三、数论与 《算术研究》 



     1801年,高斯的名著《算术研究》问世。《算术研究》是用拉丁文写成 

的。这部书是高斯大学毕业前夕开始撰写的,前后花了三年时间。1800年, 

高斯将手稿寄给法国科学院,请求出版,却遭到拒绝,于是高斯只好自筹资 

金发表。 

     在这本书的序言一开头,高斯明确地说明了本书的范围:“本书所研究 

的是数学中的整数部分,分数和无理数不包括在内。” 

      《算术研究》是一部划时代的作品,它结束了19世纪以前数论的无系统 

状态。在这部书中,高斯对前人在数论中的一切杰出而又零星的成果予以系 

统的整理,并积极加以推广,给出了标准化的记号,把研究的问题和解决这 

些问题的已知方法进行了分类,还引进了新的方法。全书共有三个核心课题: 

同余理论、齐式论及剩余论和二次互反律。这些都是高斯贡献给数论的卓越 

成就。 

     同余是《算术研究》中的一个基本研究课题。这个概念不是高斯首先提 

出的,但是给同余引入现代的符号并予以系统研究的却是高斯。他详细地讨 

论了同余数的运算、多项式同余式的基本定理以及幂的同余等各种问题。他 

还运用幂的同余理论证明了费马小定理。 

     二次互反律是高斯最得意的成果之一,它在数论中占有极为重要的地 

位。正如美国现代数学家狄克逊 (1874—1954)所说:“它是数论中最重要 

的工具,并且在数论发展史上占有中心位置。”其实,高斯早在1796年就已 

经得出了这个定理及其证明。发表在《算术研究》中的则是另一种证明。 

     从二次互反律出发,高斯相继引出了双二次互反律和三次互反律,以及 

与此相联系的双二次和三次剩余理论。为了使三次和双二次剩余理论优美而 

简单,高斯又发展出了复整数和复整数数论;而它的进一步结果必然是代数 

数理论,这方面由高斯的学生戴德金 (1831—1916)作出了决定性的贡献。 

     在《算术研究》中,高斯出乎寻常的以最大的篇幅讨论了型的理论。他 

从拉格朗日的著作中抽象出了型的等价概念后,便一鼓作气地提出了一系列 

关于型的等价定理和型的复合理论,他的工作有效地向人们展现了型的重要 

性——用于证明任何多个关于整数数的定理。正是由于高斯的带领,使型的 

理论成为19世纪数论的一个主要课题。高斯关于型和型类的几何表式的论述 

是如今所谓数的几何学的开端。 

     高斯对数论问题的处理,有许多涉及到复数。首先是对复数的承认,这 

是个老问题。18、19世纪不少杰出的数学家都曾被“复数究竟是什么?”搞 

不清楚。莱布尼兹、欧拉等数学大师对此一筹莫展。高斯在代数基本定理的 

证明中无条件地使用了复数。这使得原先仅从运算通行性这点考虑对复数的 

承认,扩大到在重大的代数问题的证明中来确认复数的地位。高斯以其对该 

定理的高超证明,使数学界不仅对高斯而且对复数刮目相待。高斯不仅如此, 

他又把复数带进了数论,并且创立了复整数理论。在这一理论中,高斯证明 

了复整数在本质上具有和普通整数相同的性质。欧几里得在普通整数中证明 

了算术基本定理——每个整数可唯一地分解为素数的乘积,高斯则在复整数 

中得出并证明,只要不把四个可逆元素(±1,±i)作为不同的因数,那么 

这个唯一分解定理对复数也成立。高斯还指出,包括费马大定理在内的普通 

素数的许多定理都可能转化为复数的定理 (扩大到复数领域)。 


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      《算术研究》似乎任何一个学过中学普通代数的人都可以理解,但是, 

它完全不是给初学者看的。在当时,读懂这本书的人较少。困难不是详细的 

计算示例而是对主题的理解和对深奥思路的认识。由于全书有7个部分,人 

们风趣地称它是部“加七道封漆的著作”。 

      《算术研究》出版后,很多青年数学家纷纷购买此书并加以研究,狄利 

克雷(1805—1859)就是其中之一。狄利克雷是德国著名数学家,对分析、 

数论等有多方面的贡献。他把《算术研究》视为心爱的宝贝,把书藏在罩袍 

里贴胸的地方,走到哪儿带到哪儿,一有空就拿出来阅读。晚上睡觉的时候, 

把它垫在枕头下面,在睡前还读上几段。功夫不负有心人,凭着这股坚韧不 

拔的毅力,狄利克雷终于第一个打开了“七道封漆”。后来他以通俗的形式 

对《算术研究》作了详细的介绍和解释,使这部艰深的作品逐渐为较多的人 

所理解和掌握。 

     关于《算术研究》和狄利克雷之间还有一段感人的故事。1849年7月16 

日,正好是高斯获得博士学位50周年。哥廷根大学举行庆祝活动,其中有一 

个别出心裁的节目,他们要高斯用《算术研究》中一页原稿来点燃自己的烟 

斗。狄利克雷正好站在高斯身旁,他看到这个情景完全惊呆了。在最后一刹 

那,他不顾一切地从自己恩师的手中抢下了这页原稿,并把它珍藏起来。这 

页手稿直到狄利克雷逝世以后,编辑人员在整理他的遗稿中才重新发现了 

它。 

      《算术研究》发表后,拉格朗日曾经悲观地以为“矿源已经挖尽”、数 

学正濒临绝境,当他看完《算术研究》后兴奋地看到了希望的曙光。这位68 

岁高龄的老人致信高斯表示由衷的祝贺: 

      “您的《算术研究》已立刻使您成为第一流的数学家。我认为,最后一 

章包含了最优美的分析的发现。为寻找这一发现,人们作了长时间的探 

索。……相信我,没有人比我更真诚地为您的成就欢呼。” 

     关于这部著作,19世纪德国著名数学史家莫里茨·康托曾发表过高见, 

他说: 

      “高斯曾说:‘数学是科学的女皇,数论则是数学的女皇。’如果这是 

真理,我们还可以补充一点:《算术研究》是数论的宪章。” 

      《算术研究》是高斯一生中的巨著。暮年高斯在谈到这部书时说:“《算 

术研究》是历史的财富。” 

     高斯原本计划继续撰写《算术研究》第2卷,但由于工作的变化和研究 

兴趣的转移,这一计划未能实现。 

     高斯的许多数学成就都是在他去世后才被人们发现的。从1796年3月 

30日高斯用尺规作出正17边形后,他开始记科学日记,并且长期坚持下来, 

到1814年7月9日。高斯的科学日记是1898年哥廷根皇家学会为了研究高 

斯,向高斯的孙子借来
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