我们四边形多少是喝过些墨水的，因此能象您一样，知道妇女虽然一般被称做直线，其实科学地说是一个极细长的平行四边形，因此有两个维，同其它人一样有长有宽。”
陌生人：“正因为有三个维，你才能看见这条所谓的线呢！”
我：“阁下，我刚刚说过，妇女是有宽度和长度的。我们能看见她的长，推断出她的宽，宽度虽然极小，但也能测量出来。”
陌生人：“你没有明白我的意思。当你看见一位妇女时，你应该——除了推测她有宽度之外——看见她的长，也应当看见她的我们称之为”高“的东西的存在，虽然最后这一个维在你的国家里是无穷小的。如果一条直线只有长而没有高，它就不再占有空间而变为不可见的了。你真地没有认识到这一点吗？”
我：“我承认我一点儿也不明白您的意思。我们在二维国看一条线时，是凭借长度和亮度看见的；如果光亮消失了，就说明这条线已不复存在了，也就象是你说的不再占有空间了。据我猜想，你所说的另一个维，就是这个我们称之为‘亮度’的东西吧，只是你们称之为‘高’就是了。对吗？”
陌生人：“不。我所说的高，就象你们的长度一样，也是一个维，只是在你们这里，高度一概是极小的，因而不易觉察出来罢了。”
我：“阁下，对您所说的是很容易加以验证的。您说我具有你们称之为‘高’的第三维。那好吧，维是有方向和大小的。那就请您测量一下我的‘高’，或者指一下我的‘高’是沿什么方向延伸的吧。如果您能叫我知道，我就会信服您，否则就只好对您所说的敬而远之了。”
陌生人：（自言自语）“既测量不出来，也无法对他指出？怎样能使他信服呢？有了，先对他说几个事实，然后再实际演示一下让他看看，这肯定就能行了。——请再听我说，先生。”
“你生活在一个平面上。设想你称之为二维国的世界，就是人们称之为流体这个东西的广大的表面，你和你的国民们就在这个面上，或者说在这个面里活动，但是不能上升或下降。
“我不是平面图形，而是一个立体。你称我为圆，可实际上我不是圆，而是叠在一起的无数多个直径从零至十三英寸的种种大小不等的圆。当我切入你的平面时，就会在这个面上截成一个图形，这就是一个圆。瞧，我现在就是这样做的。因为对于一个球来说——球就是我在我那个国家里的名称——如果能向二维国民表示出自己的形状的话，也只能表现为一个圆。
“你记不记得你昨夜的一维国之行？——我是什么都能看见的，因此我已经看到了你脑子里存留的有关幻象。喂，你记不记得，在你进入一维国时，是如何不得不在国王面前显现为一条线而不是四边形的？那是因为一维国只有一个维，因而不足以表示出你的全貌的缘故。现在的情况也完全类似。你们二维国也同样没有足够的地方来让我表现出自己的全貌；我是个三维形体，因此在这里只能显现我的一个断面，这也就是你称之为圆的图形。
“你的眼神有点暗淡，这表明你仍不肯相信。但现在我就要用确凿的证据表明，我告诉你的都是真理。既然你没有能力把你的眼睛抬出你的平面之外，你就只能看到我的一个断面，也就是说，每次只能看见一个圆。可当我在空间上升时，你至少会看见我在平面上的断面是逐渐变小的。现在你来看，我升起来了……你看见的圆正变得越来越小，直到缩成一个点，并且最后消失。”
我看不见他的上升，只是看到这个圆一点点变小，最后便消失了。我眨了好几次眼睛，为的是弄明白是不是在做梦。这不是梦。从空中不知何处传来了飘渺的声音——它好象就贴在我的心口：“我离开了吧！好，现在我再渐渐回到二维国来，你会看见我的断面越来越大。”
球即将消失的一瞬
球正在升起 _____
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球的最大截面 / ｜ ｜
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图 8
在三维国的每个读者都很明白，我这位神秘的客人所讲的话明摆着都是真实的。但我虽然说是二维国里一个精通数学的人，可这对于我却不是那么简单明白的事情。三维国里哪怕随便一个孩子，看了上面的那张很大略的图解，都会明白这是一个球在三维空间里上升时，对我或任一个二维国民表现为一个圆，而且开始时最大，然后就变小，最后变得极小，近似于一个点。而我却虽然看见了眼前的事实而依然感到莫名其妙。我所能理解的，只不过是这个圆使他自己变小和消失，然后又重现并迅速变大。
当他又恢复到原来的大小时，大声地叹了一口气，因为他从我的沉默中觉察到我仍完全不理解。确实，现在我倾向于相信他全然不是个圆，而可能是个高明的魔术师，要不然就是真象有些老婆婆们所说的那样，世上毕竟还有巫师方士之类的人。
又沉默了许久之后，他又自言自语了：“如果我不靠行动证明的话，至少还能有一个办法，那就是试一试类推法。”
随后，他又同我讲起话来。
球：“数学家先生，请告诉我，如果一个点向北移动，留下一条发亮的轨迹，你称这条轨迹为什么？”
我：“一条直线。”
球：“一段直线有几个端点？”
我：“两个。”
球：“现在设想这条线沿东西方向移动，它的每一个点所产生的轨迹都形成一条直线，这样形成的图形叫什么？我们假设这段线平移的距离与其本身等长。说说看这叫什么？”
我：“一个四边形。”
球：“一个四边形有几条边？几个角？”
我：“四条边、四个角。”
球：“再开动一下脑筋，想象一下在二维国里有一个四边形一致地向上移动它自身。”
我：“向哪里？向北吗？”
球：“不，不是向北，是向上，完全脱离二维国。”
“如果这个四边形向北移，它在南边的点必定会通过北边的点原先所占据的位置。这个不是我的意思。
“我的意思是你身上——因为你就是个四边形，所以我就以你为实例来说明——的每一个点，也就是你认为位于你身体内部的每一个点都向上通过空间，使你身上没有一个通过其它一个点原先所占据的位置，但每一个点本身都描绘出等于自己的一条直线。这正是地地道道的类推法。你一定明白了吧？”
现在我真感到一种强烈的冲动，想不顾一切地冲向这位来访者，把他抛出去，把他赶出二维国，把他弄到随便什么地方去，以使我能摆脱他。但我还是极力克制住了自己的厌烦情绪回答道：“你乐于用‘向上’这个字眼来表示的这种运动使我形成的这个图形会有什么性质呢？我想，用我们二维国的语言是可能描述出来的吧？”
球：“当然，这一切都是简单明了的，而且完全可以类推出来。顺便也得提一下，你不能说结果得到的是一个平面图形，而是一个立体，我会向你描述它，更确切他说，是类推法会向你描述它。
“开始，我们是有一个点。当然，既然它本身只是一个点，所以只有一个端点。
“一个点产生一条线，它有两个端点。”
“一条线产生一个四边形，它有四个端点。”
“现在你能回答你自己的问题了：1 ，2 和4 ，显然是几何级数。它的下一项是什么？”
我：“8。”
球：“对。这个四边形产生了一个你不知道的东西，我们称之为立方体，它有八个端点。现在你相信了吧！”
我：“这种东西有边吗？有角吗？有你们所谓的端点吗？”
球：“根据类推法来看，它当然都有。但是还得提一句，它的边可不是你们的那种边，而是我们所说的‘面’，也就是你们所说的立体。”
我：“那么，由我的身体向这个所谓‘上’的运动而产生的这个你叫做立体的玩艺儿有几个立体，也就是你所说的面？”
球：“你怎么也问起来了？你不是个数学家吗？任何物体所有的‘边’这里是笼统地一概这样称谓的总比具有它的物体在维数上低一
个。一个点没有维，它有零个边；一条线可以说有两个边——因为可以称一条线的两端为它的边；一个四边形有四个边。于是便有0 ，2 和4。你叫它什么级数？“
我：“算术级数。”
球：“下一项是几？”
我：“6。”
球：“太对了。你看你已经回答了自己的问题。由你产生的这个立方体由六个边组成，也就是说，有六个你的身体。你现在全明白了，嗯？”
“你这个大怪物！”我厉声叫道，“你这个变戏法的，弄巫术的，托恶梦的，耍花活的东西！我再也不能容忍你对我的耍弄了！我跟你拼个你死我活！”一边说着，我一边向他奋力冲去。
17。 徒劳一场的球又求助于行动
真是徒劳！我用自己最坚硬的一只角猛地向这个陌生人戳去，用足以杀死一个圆的力量向他压去，但只感觉到自己根本用不上劲，因为他从我这里滑脱开了，既不是向左，也不是向右，真说不出他究竟是怎样离开的。人虽然不见了，我还能听到这个入侵者的声音。
球：“你怎么不讲理？我本希望你——一个通情达理的人，一个有造诣的数学家——能成为一个三维真理的合格的热心倡导者呢！对于三维世界的真理，我一千年也只能宣传一次。可现在，我真不知道怎样才能使你相信我的话。且慢，有了。我来用行动代替语言来宣示真理吧。我的朋友，请听我说。”
“我已经告诉过你，从我所在的空间能够看见你们认为是密闭的一切物体的内部。例如，在你的附近，我看见你的小橱柜里有几只你们称之为盒子的东西（像二维国里的其它东西一样，它们既没有顶也没有底），那里面放满了钱。我还看见那里面有两本帐簿。我这就降下去，进小橱里去拿它一本出来。我曾看见你在半小时前锁上了那口小橱，还知道你拿着钥匙。
……我从空间降下来了……你看，这些门原封未动……我已经拿到了小橱里的一个帐本……我又上升了……“
我冲到橱柜前面，使劲拉开柜门。真有一本帐不见了！陌生人又带着一阵嘲笑声，在房间的另一隅露面了。这时，那个帐簿也出现在地板上。我把它拣起来。不错，肯定就是刚才不见了的那一本。
我恐怖地呻吟着，怀疑自己是否失去了理智。陌生人又继续说道：“真的，你现在该明白了，我的解释是说得通的，而且也只有我的解释是说得通的吧！你们称为立体的东西，其实都只是极薄极薄的扁片；你们所谓的空间，实际上只是一个很大的平面；我在空中鸟瞰这些物体的内里，而你们只能看见它们的外皮。如果你能鼓足勇气，自己就能离开这个平面，只要稍稍升起一点或下降一点，你就会看见我所见到的一切。
“我升得越高，你的平面就离我越远，而我所能看见的就越多。当然，我所能看到的一切会越来越小。例如，我正在上升，现在我能看见你的一个六边形的邻居和他家的几个房间……我看见戏院里的十扇门都打开了，观众刚散场出来……在另一边有个圆正在他的书房里，坐在许多书边……现在我要回到你这儿，而且做为一个王牌证据，我将极轻地触摸一下你的内脏，看看你会怎么想。这对你不会有任何伤害，与你将能得到的精神上的收获是不能相提并论的。”
我正要提出抗议，突然感到腹内一下刺痛，好像还从我身体里发出一阵大笑。过了一会儿，这阵突如其来的疼痛消失了，只留下一点麻木感。陌