2
3
4 或者后来是
5
6
7 或者后来是
8 或者后来是
9 或者后来是 （对角线代表3×3）
对于10他们用一个“钩”来代替：
所以11是
12 是
依次类推——就象后来罗马人发明的X，XI，XII（但是没有表示5的新符号，所以15不象罗马文的XV，而是 ）。20是 ，30 是由3个“钩”组成，有不同的排列形式： ，40是4个“钩”，50是5个，在它们之间的数字都是你可以想到的形式：34是 ，59是
第一部分 透视零第3节 思想的印迹（2）
在这里六十进制突然出现了，60也是一个楔形，但是是更大的一个： 。像这样从小到大，从右到左书写数字（就像我们从右到左书写数字一样——感谢他们这样做——虽然我们书写单词是从左到右），63将会是 ，72是 ，你自己就能创造出剩下的：120是 ，137是：
↑↑↑
（2×60）＋ 10＋7
=120
等等。如果你想进行一次短暂的时光旅行（粘土块，木尖笔，弥漫的羊肉的味道对你会有帮助），试着写出217，
你写得出来吗：
↑↑↑
（3×60）＋30＋7？
=180
注意楔形的大小是很重要的：62 和3 的唯一区别是第一个楔形的大小。但是手写体总是不断变化的，即使是楔形文字也不例外；人们是匆忙或者粗心的（试着用铁笔写出一个月的帐目），被教堂的神职人员保存下来的历尽劫难的成千上万的记录，上面记录着捐赠者的姓名和作为祭品的羊，鱼或鸡的数量，在记录这些东西的过程中，大的楔形可能变小，小的可能变大（或许偶尔也会有像台比留皇帝那样的事情），那么，这个问题怎么解决呢？
直到有人想出了一个高明的主意（或者这个主意仅仅只是一个碰巧凑效的权宜之计，谁知道呢）——以楔形的书写位置来代表数值的大小而不论楔形形状的大小，这种混乱的局面才结束。因此，不管楔形是大是小， 总是表示202：3个60，2个10另加2。 表示182：3×60＋2。
这种用位置来表示数字大小的体系一旦普及开来，为了一目了然，引入空位和规范的楔形及钩形组就成为必然。就像我们的“754”是表示（7×102）＋（5×10）＋（4×1）一样，
表示是62，但 表示是3 661；
↑ ↑↑↑↑
（1×60）＋ 2 （1×602）＋（1×60） ＋ 1
和
是754。
↑↑
（12×60） ＋34
=720
这样做是非常奇妙的事情。它不仅仅能让我们很快的写出很大的数字（比如1999就将变成这样的表示 ）
↑ ↑
（33×60）＋ 19
=1 980
而且更重要的是能让我们的运算变得相对容易。举个例子，我们做加法
43
＋14
57
是通过首先把3和4相加，再把4个10和1个10相加。
对巴比伦人（Babylonian）来说，他们是这样加的，
但是如何“进位”呢？这是一个我们孩提时代感到困惑的事情。我们来做
82
＋41
123
（2个单位加上1个单位是3个单位，8个10加上4个10是12个10，也就是，2个10和1个100）。他们这样做
6个10是1个60，3个单位
再加上原来已经存
在的1个60
我们就得到2个60
对于我们，把一个数字移到它左边的数位上，它的值就变成原来的十倍，在巴比伦的表示方法中就变成原来的60倍。当一个数位满了，处理的方法是把这一位去掉10——或60，在左边一位加上1。
索福克勒斯（Sophocles古希腊悲剧诗人——译者注）说：“没有磨难就没有伟大事件发生。” 引入位置来表示数值的大小固然伟大，但巴比伦人怎么区分180： 和3： 呢？也就是说，他们怎么知道“3”在个位还是在60位？神庙里的神父从记录中怎么才能知道上一年送给女神的祭品是2只羊呢，还是120只羊？很显然，是通过当时的情况来考虑；就象当你考虑半加仑牛奶值55，旅行社到多伦多的廉价飞行价格也是55，你是知道小数点应该放在哪里的。
但是，生活变得更加纷繁复杂了，事物的数目更大了，仅凭各种情况来判断数目的大小变得不再可靠。忍受了上千年的模棱两可后（是这方面的不同进度使文明有了明显的差异？），在公元前6到3世纪，终于有人创造并使用了一个具有划时代意义的符号 ，这个符号或许是在定义两列楔形如何分开时独立出来的单词，也或许是来自另一个语言中的符号。无论如何，他有效的表示了这样的含义：“这一列什么也没有”。因此
=125
↑↑
（2×60）＋5
但是 =7205
↑↑↑
（2×602）＋（0×60） ＋5
=7 200
正如你所想象的一样，人们有各种各样书写0的方法，随心所欲，所以就有了下面这样的书写方法：
和 甚至是 或者 。
在启什（Kish美索不达米亚的古代城市，位于今天伊拉克中部幼发拉底河流域。其众多的遗迹成为关于苏美尔人文明的有价值的考古学证据——译者注）遗址发掘出的一个记事簿（大约公元前700年）上，记事员是用三个“钩”而不是两个倾斜的楔形来表示他的零，它们看上去像30；而同一时期的另一个记事员则只用一个“钩”来表示他的零，以至于与10很难区分。难道是粗心吗？或者这种变化表明我们已经非常接近了表示零的最早的独立符号，它的意义和形式正在慢慢形成吗？
第一部分 透视零第4节 思想的印迹（3）
然而，这种零的标记只被用在数字的中间，从来没有在数字末尾出现过。从你的存货清单上看你的库存面包，到底是够2个人食用呢，还是够420个人食用？这可能需要你研究不同的时期、不同的地点、不同的人们，你才可能最终知道。
正如狂欢节时人们常说的那样：狂欢时，你在交叉路口丢失了东西，你会在连接它的路上拾到东西。有所失，就有所得，零从来没有被用在数字末尾使我们失去了准确性，但也使我们得到了灵活多变。由于没有零在数字的末尾，我们将不能区分出2，20，200这些数字，所以计算乘法2×3、20×3或200×3是一样的容易：答案永远是6，然后加上可以凭常识或当时情境得到的数量级。因此，当有人声称灵活多变是这种符号的最大优点时，也就不足为怪了。
在巴比伦后来的岁月中，有人第一次给了“空空如也”一个“居所”和名字，不管这个人是谁，都没给自己留下任何东西。也许那一对楔形符号是对他的历史地位最合适的纪念。
经过漫长得令人叹为惊止的思想里程，当一个完美的思想灵感给了我们计算技巧的时候，零以印在一块湿粘土上的两个楔形形式开始了它的生涯。我们通过给不同数量事物以不同的数字命名和符号来记数：1，2，3……，但是如果一定要给每个新数量一个全新的名字和符号，就会穷尽你所有的心智和记忆。试试吧，给前二十个数字编上不同的符号，例如：
1，2，3，4，5，6，7，8，9，γ，/，§，◇，¢；，▽，┓，Ψ，∧，ㄚ，λ
那么，7加8等于多少呢？是▽。
那么Ψ减去 / 呢？从Ψ开始往后数 / 位，是6。
又比如，γ加上∧呢？很不幸，我们还没有为它创造新的符号。即使现在来构思，我们也不得不首先创造出另外的七个符号。
这个问题一定是在每种文明的初期就得到了解决，就象我们孩提时代做的那样：先把想要计数的物体分成堆，这些堆中包含的物体都是相等的易处理的数量单位。例如，
是 个
因此不引人注意的γ＋∧就变成
＋
等于 个 再多上 。
这种基本的数量单位通常是5或10，正好是我们手指的数量，或者是别的可以一目了然的数目（我们数鸡蛋或英寸用“打”——十二）。
一旦有了这种捷径（这种捷径给我们由加到乘的混合运算带来了巨大飞跃），新的需要就随之而来：如果 ＋ 一共是 个 再加上 ，它确切的代表什么样的一个数目呢？终究不还是要创造一个新的符号吗？在不同的文明中出现了不同的答案。或许来自于记数符木（古时用，上有刻痕记载交货、欠款等的数量——译者注）上的一个笔划，或许来自市场上人们常用的手势，罗马人用Ⅹ表示含有 个数量单位的一堆物品，Ⅴ表示 个（‘Ⅴ’代表的数量是‘X’的一半，也是X的上半部，一只手所能代表的数量单位）数量单位，因此，按照从左到右书写单词的习惯类推，XV代表三个5。他们用XX（两个10）表示四个5，而不是冗长的VVVV或XVV。
那么，γ＋∧问题就变为
X＋XVⅢ=XXVⅢ。
这看上去似乎是一个很有前途的方法，但当你为庞大的数目而写长串的X而感到厌烦时，这个方法也陷入了困境。至少你又回到了不得不接二连三创造新符号的原状。罗马人用L代表50，所以LX是50多10，就是60；XL表示差10不到50，就是40；C代表100，D代表500，M代表1000——像债务或少女的嫁妆一样不断增加——用以旧符号为中心加三个边框的符号来表示原数值的100 000倍。因此，当利维亚（Livia）给格尔巴（Galba）留下了50 000 000塞斯塔斯（sesterces古罗马货币单位——译者注）的遗产，她的儿子台比留（Tiberius公元1世纪14…37年间为罗马皇帝——译者注）皇帝——对任何人都毫无感情，当然对格尔巴（尽管是他母亲留下的继承人）也不例外——坚持认为 应该读作 ，是500 000塞斯塔斯，quia notata non perscripta erat summa，“因为这个总数是个符号，符号没有写清楚”。我们可以想象从皇帝口中说出这样的话。
这种计数方法每天都产生很多问题，而且不仅仅是在律师的办公室里。
43＋24等于多少？对于罗马人来说，就是
XLⅢ＋XXIV，
把两个数字对齐，无法自动得出答案是LXVII。过去，用这样的数字体系描述一个大数目是困难的（即使用后来缩写的罗马字母表示也是困难的，1999是MCMXCIX：
MC M XC IX
↑↑↑↑
1 000比1 000少100是900 比100少10 是90 比10少1是9）
用它们计算更是令人望而却步（想象着尝试一下减法、乘法、但愿不是除法）。
我们现在想当然地认为，有一个神奇的天才改进了数字的表示方法，使我们毫不费力地进行计算。令人迷惑的0——代表一无所有——为这个发明划上了圆满的一笔。
故事起源于大约5 000年前定居于美索不达米亚（Mesopotamia现在部分属于伊拉克）的苏美尔人。当你在他们用于记事的粘土块上读到这样的父子间的对话：“你去哪儿了？”“哪儿也没去。”“那你为什么来晚了？”，这时你会感觉5 000年前的事就象刚刚过去的一个晚上发生的。
苏美尔人使用1进制和10进制来计数，也用60进制。乍一看有点难以接受，想想我们现代也还在使用这样的进制就不足为奇了。一小时有60分钟（6×60=360，圆分为360度，每分钟占6度）。更进一步，我们一年用12个月来计算，一周用7天来计算，一天用24个小时来计算，一磅或一品脱有16盎司。直到1971年英国还使用12分一个先令，20先令一磅这样的币值。
对这些不同体系的发展进行深入研究，你会发现它们都是相互磨合，相互妥协的历史，你认为神秘离奇的事情其实是最自然不过的了。苏美尔人遇到了与他们度量衡不同的另一种文明，首先是衡制，然后是币制，苏美尔人的六十进制很可能就是在处理与这种文明间的不同时产生的。可以猜想，苏美尔人把某个重量称为1，随之更重一些的是2，3等等，直到10的整数倍；当然也有1/4，1/3，1/2