轨道都发生弥散，一般不能用数学上的点来定义物质粒子的位置，
也不能用数学上的线来定义粒子的运动轨道，那么，我们就应该
用别的描述方法来提供这种“稀粥”（可以这样称呼它）在空间
不同点上的“密度”。从数学上说，这意味着需要采用连续函数
（流体动力学中所用的那一种），而从物理学上说，这要求我们
采用“这个物体大部分在这里，但有一部分在那里”或者“这枚
硬币有75％在我口袋里，而有25％在你口袋里”这种所谓“出现
密度”的说法。我知道，这样的句子会把你们吓一跳，不过，由
于量子常数的值非常小，你们在日常生活中永远不会需要使用它
们。可是，如果你想研究原子物理学，那么，我就要严肃地劝你
首先使自己习惯于这种表达方式了。
在这里，我必须预先警告大家不要产生一种错误的想法，也
就是不要错误地认为，这种描述“出现密度”的连续函数在我们
普通三维空间中具有物理学上的现实意义。事实上，如果我们想
描述两个粒子的行为，我们就必须回答当第一个粒子出现在某一
点时第二个粒子出现在什么地方的问题。要想做到这一点，我们
必须采用含有６个变量（２个粒子各有３个坐标）的函数，而这
样的函数在三维空间中不可能是“定域”函数。当系统更复杂时，
必须采用含有更多变量的函数。从这个意义上说，量子力学的“
波函数”类似于古典力学中粒子系统的“势函数”，也类似于统
计力学中系统的“熵函数”。它仅仅描述运动状态，并帮助我们
预测任何一种特定的运动在指定条件下可能产生的结果。因此，
只有在我们描述粒子的运动时，它对于我们所描述的粒子才暂时
具有物理学上的现实性。
描述一个粒子或粒子系统出现在不同地点的可能性有多大的
函数，需要有某种数学上的记法；按照奥地利物理学家薛定愕（
他最先写出定义这种函数的性状的方程）的意见，这个函数一般
用符号ψψ－来表示。
我不想在这里讨论薛定愕基本方程的数学证明，但我希望大
家注意一下导出这个方程的必要条件，这些条件当中最重要的。
一个是非常离奇的是，它要求这个方程的形式必须使得描述物质
粒子运动的函数能够显示出一切波动特性。
我们一旦推翻了古典概念，并用连续函数来描述运动，关于
波动性质的要求就变得容易理解多了。这种要求只不过是说，我
们的ψψ－函数的传播并不类似于热通过一堵一面被加热的墙壁的
传播，而类似于机械形变（声音）通过这种墙壁的传播。从数学
上说，这要求我们所寻找的方程具有明确的、相当严格的形式。
这个基本条件连同一个附加的要求——即要求我们的方程在用于
可以不考虑量子效应的大质量粒子时，应该变成古典力学中的相
应方程——实际上把寻找这个方程的问题，化成了一项纯数学的
作业。
如果大家愿意知道这个方程的最后形式是什么样，我可以在
这里把它写出来。这就是
在这个方程中，函数Ｕ代表作用于粒子（质量为ｍ）的力势，对
于任何一种指定的力场分布，它都使运动问题有确定的解。利用
这种“薛定愕波动方程”，物理学家们已经为原子世界所发生的
一切现象，描绘出最完美而且最合乎逻辑的图景。
你们也许有人会觉得奇怪：为什么我没有使用人们在谈到量
子论时常常提到的“矩阵”那个术语？我应该承认，我个人是不
太喜欢这种矩阵的；因此，我宁愿不同它打交道。不过，为了使
大家不至于完全不知道量子论中的这种数学工具，我想用几句话
简单地谈谈它。正如大家已经看到的，人们总是用某种连续的波
函数来描述粒子或复杂力学系统的运动。这种函数往往相当复杂，
可以看做是由许多比较简单的振动（即所谓“本征函数”）组成
的，就像一个复杂的声音可以看做是由许多个简单的谐音组成的
那样。因此，我们可以通过给出各个分量的振幅，来描述复杂系
统的整个运动；由于分量（泛音）的数量无限多，我们必须写出
一个无限长的振幅表：
ｑ11 ｑ12 ｑ13 …
ｑ21 ｑ22 ｑ23 …
ｑ31 ｑ32 ｑ33 …
这样的表就称为与某一指定运动相对应的“矩阵”，它遵循某些
比较简单的数学运算法则，因此，有些理论物理学家喜欢用这种
矩阵来进行运算，而不用波函数本身。可见，这种“矩阵力学”
——理论物理学家们常常这样称呼它——只不过是原来的“波动
力学”在数学上的一个变种，由于我们办这些讲座的目的主要是
想把原理讲明白，所以，我们就不必更深入地讨论这些数学方面
的问题了。
很可惜，时间不允许我向大家介绍量子论在同相对论结合以
后所取得的进一步发展。这种发展主要归功于英国物理学家狄喇
克的研究工作，它为我们带来了许多很有意义的东西，并导致了
一些极其重要的实验发现。以后，我也许还能够回头来谈谈这些
问题，但是，现在我应该结束我的演讲了。
９ 量子丛林
嗡……嗡……嗡……
汤普金斯先生从床上坐了起来，撩开被单，猛地一下把闹钟
关上，开始意识到这是星期一的早晨，想到该做些什么事。然后
他又一次躺下，准备按老习惯再来最后10分钟的小睡。
“嗨，快点起！该起床了！我们已经订好机票了，还记得吗？”
这是教授在说话，他就站在床边，手上拎着一只大提箱。
“什么，你说什么？”还有点迷糊的汤普金斯先生坐了起来，
一边揉着眼睛，一边嘟哝着。
“我们要去旅行呀。别对我说你已经忘了！”
“旅行？”
“当然是旅行啦。我们要去量子丛林旅行。那个台球房的老
板挺不错，他告诉我，用来制作他那些台球的象牙是从哪里弄来
的。”
“象牙？可是这几天并没有人要我们去找象牙啊……”
教授不理睬汤普金斯先生的反对，把手伸进提箱的边袋。
“哈，这就是它！”他从箱子的边袋拿出一张地图正式地声
明说：“瞧，我已经用红笔把那个区域标出来了。看到了吗？在
那个地区里，一切事物都要服从量子规律，那里的普朗克常数非
常大。我们得去考察一下。”
这次旅行丝毫没有特色，汤普金斯先生老是在计算时间。最
后，飞机终于降落在某个遥远的国度上，那是他们的目的地。据
教授说，这是最靠近那个神秘的量子区域的居民点。
“我们需要找一个导游。”他说。但他们很快就发现，要找
向导是很困难的。当地的土著显然都对那个量子丛林抱有畏惧的
心理，平时从来没有人走近那个地方。不过，后来还是有个看来
莽撞而大胆的小伙子挺身而出，他把他那些胆小怯懦的朋友大大
取笑了一番，自愿带两个来访者去冒险。
第一件要办的事是去市场买些装备和给养。
“你们得租头大象，我们好骑着它去。”那个小伙子宣布说。
汤普金斯先生对那头庞大的动物看了一眼，心中立刻充满了
恐惧。难道人家真的要他爬到大象背上去？！“听着，我可骑不
了它，”他声明说，“过去我从来没有做过这样的事。我真的不
行。要是骑马嘛，也许还可以。但是，我可不能骑那个。”就在
这时，他发现有另一个贩子在卖毛驴，眼睛便亮了起来。“来头
毛驴，怎么样？我觉得它挺适合我的身材。”
那小伙子毫不客气地哈哈大笑了，“骑头毛驴去量子丛林？
你一定是在开玩笑吧。那就像是骑一匹发怒的野马，你会立刻被
摔下来的（如果那头毛驴没有先从你的两腿之间‘漏’过去的话）。”
“啊，”教授喃喃他说，“我开始明白了。这小伙子还确实
懂得不少事呢？”
“他吗？”汤普金斯先生说，“我揣摩他是同卖大象的贩子
串通一气来骗我们，要我们买下我们不需要的东西的。”
“可是我们确实需要有一头大象。”教授回答说，“在这个
地方，别的动物会像我们见过的那些台球四处弥散，我们是不能
骑的。我们还得给大象加上一些重的东西。这样一来，它的动量
就会变得很大（尽管动量增大得不快），而这又意味着，它的波
长将小到微不足道。不久以前我对你说过，位置和速度的测不准
性全都取决于质量。质量越大，测不准性越小。这就是我们在普
通的世界里，即使是对于像尘埃粒子那么轻的物体，也观察不到
量子规律的原因。不错，电子、原子和分子都是服从量子规律的，
但一般大小的物体就不是这样了。从另一方面说，在量子丛林中，
普朗克常数是很大的，但是，它还不足以使像大象这样重的动物
的行为产生惊人的效应。只有非常仔细地检查量子大象的外形，
你才能发现它的位置的测不准性。你可能已经注意到，它的皮肤
表面并不十分确定，似乎有点模模糊糊。这种测不准性非常缓慢
地随时间而增大，我想，这就是本地人传说量子丛林里的老象有
很长的长毛的原因了。”
经过一番讨价还价，教授同意了商定的价钱，于是，他和汤
普金斯先生便爬上大象，进入那个固定在象背上的框子里，而那
个年轻的导游则骑在大象的脖子上。他们开始朝着神秘的丛林出
发了。
大约走了一个钟头，他们才来到丛林的外边。当他们进入树
林时，汤普金斯先生注意到，虽然周围连一丝风也没有，树上的
叶子却都在沙沙作响。他问教授为什么会是这样。
“哦，这是因为我们都在看着它们。”这是教授的回答。
“在看着它们！这同树叶作响有什么关系？”汤普金斯先生
喊了起来，“难道它们就这么害羞吗？”
“我可不太喜欢这种说法，”教授笑了，“问题在于，在进
行任何观察时，只要你在看着观察的对象，你就免不了要干扰它。
在量子丛林中阳光量子所集结成的光束，显然要比我们老家的光
束大一些。加上现在的普朗克常数也要大得多，我们就应该料到，
这里会是一个非常粗犷的世界。在这里不可能有任何柔和的动作。
如果有人想在这里抚弄一只小狗，那么，那只狗要不是根本什么
也没有感觉到，就是被第一个‘抚弄量子’折断了脖子。”
当他们穿过树林缓缓行进时，汤普金斯先生一直在思考着。
“要是没有人在看着它们，”他问道，“那么，一切物体的表现
是不是会正常呢？我的意思是说，那些树叶会不会像我们通常所
想的那样不再沙沙作响呢？”
“谁知道呢？”教授想了一下，“要是没有人在看着它们，
谁又能知道它们有什么表现？”
“你是说，这与其说是个科学问题，不如说是个哲学问题吗？”
“要是你高兴，你不妨管它叫哲学。很清楚，至少在自然科
学中有一个基本原则——永远别空谈那些无法用实验去验证的事
物。整个现代物理学理论都是根据这个原则建立起来的。而在哲
学中，事情可能不太一样，有些哲学家也许想超出这种限制。例
如，德国哲学家康德曾经花很多时间去思考物质的性质，但他所
考虑的不是物质‘呈现出来’的性质，而是它们‘自在’的性质。
对于现代物理学家来说，只有所谓‘可观察量’（也就是像位置
和动量这类测量结果）才有意义，而且整个现代物理学都建筑在
这些量的相互关系之上……”
就在这时，突然出现一阵嗡嗡响的噪声。他们抬头观望，立
刻看到一只很大的黑色飞蝇。它大约比马蝇大一倍，看起来异常
凶恶。导游的小伙子大声发出警告，要他们把头低下。他自己却
拿出一把蝇拍，立刻开始击打那只来袭的昆虫。那只昆虫变成模
模糊糊的一团，然后这模模糊糊的一团又变成一片朦朦胧胧的云，
把大象和它的骑士全都包围起来。小伙子现在奋力朝四面八方挥
动着蝇拍，但是主要是向云的密度最大的地方打过去。
打着了！他成功地完成了最后一拍。云马上消散不见，可以
看到那死虫的尸体突然飞了出去，在空中划出一条弧线，然后落
在密密的丛林中的什么地方。
“干得好！”教授喊道。小伙子得意洋洋地笑开了。
“我敢说，我完全不明白这一切是怎么回事……”汤普金斯
先生嘟哝着。
“实际上并没有什么，”教授回答说，“那只昆虫非常轻。
我们最初看到它以后，它的位置便很快随着时间而变得越来越测
不准。最后我们就被‘昆虫的概率云’包围住了，就像原子核被
‘电子的概率云’包围起来那样。到了这个时候，我们就不再